Fino ad oggi il calcolo dei pali è stato effettuato sulla base di modelli di interazione palo-terreno di tipo essenzialmente elastico-lineare basati sul continuo elastico omogeneo e sull’interazione alla Winkler con coefficienti di sottofondo eventualmente variabili lungo il fusto del palo per considerare le variazioni stratigrafiche delle caratteristiche geotecniche.
La nuova normativa sismica (NTC 2008) richiedebbe un calcolo non lineare dell’interazione palo-terreno ("nella caratterizzazione geotecnica è necessario valutare la dipendenza della rigidezza e dello smorzamento dal livello deformativo" § 7.11.2 NTC). Sarebbe inoltre necessaria una valutazione dell’interazione reciproca tra i pali in gruppo (§ 6.4.3 NTC) sottoposti, nel caso sismico, a forze orizzontali dinamiche e cinematiche.
Il calcolo dei pali in gruppo sottoposti ad azioni dinamiche di tipo sismico rappresenta uno dei capitoli più complessi ed ancora non del tutto esplorati dell'analisi strutturale. Non esistono soluzioni generali del problema che possano essere impiegate in un corrente programma di calcolo per uso professionale. Ricerche sono ancora in corso per validare metodologie di calcolo semplificate che evitino il ricorso a metodi generali di soluzione che dovrebbero analizzare la palificata mediante un'analisi dinamica non lineare al passo sotto un accelerogramma di progetto tenendo conto degli effetti dinamici di gruppo, della degradazione ciclica e dell'interazione sia con un terreno stratificato che con la struttura in elevazione. A causa della forte non linearità delle reazioni orizzontali del terreno lungo i pali, l'analisi modale in quanto lineare non è molto coerente. Come pure discutibile risulta l'uso delle impedenze (rigidezze funzione della frequenza espresse mediante numeri in campo complesso) in sostituzione delle rigidezze alla traslazione dei pali.
Una prima semplificazione del problema viene dal § 7.2.6 delle NTC quando a proposito della valutazione dell'interazione dinamica tra fondazione e terreno afferma che è "possibile" (non obbligatorio) "tenere conto della modifica del moto sismico indotta dall'interazione fondazione-terreno. ". Ciò a mezzo di vincoli visco elastici (impedenze dinamiche che tengano conto del livello deformativo....) specie per strutture alte e snelle con effetti del secondo ordine non trascurabili e per strutture fondate su terreno molto deformabili con Vs<100 m/s.
Il presente programma può effettuare il calcolo dinamico della sovrastruttura unitamente con la struttura di fondazione (in questo caso con fondazioni su pali) schematizzando le fondazioni stesse come rigidezze prive di massa. Le rigidezze elastiche da assumere per modellare il comportamento terreno vanno ridotte dal progettista in rapporto al livello deformativo atteso.
Sono previste due modellazioni alternative del terreno:
Pali su suolo elastico alla Winkler
E' la più frequente specie per terreni stratificati. Schematizza il terreno con molle alla Winkler di intensità variabile da strato a strato e discretizza il palo in conci come esposto nel § 1.10. Ogni palo viene considerato dal programma come una sotto-struttura da assemblare nel sistema risolvente generale dell'intera struttura mediante i valori delle rigidezze del nodo di testa (matrice rigidezze 6x6 corrispondente ai 6 gradi di libertà della testa del palo). Per il calcolo della matrice di rigidezza del palo viene usata la stessa tecnica impiegata per le travi di fondazone su suolo elastico ed illustrata nel § 4.1.
Pali immersi in terreno continuo elastico lineare
Anche in questo caso per poter assemblare il singolo palo nella matrice di rigidezza globale della struttura occorre costruire una matrice di rigidezza del palo che tenga conto dei sei gradi di libertà attivi in corrispondenza del nodo di innesto del palo nella struttura di collegamento. Il terreno è caratterizzato dal suo modulo elastico Es (costante o a variazione lineare con la profondità) ed il relativo coefficiente di Poisson µ. Il modulo elastico Es si può assumere costante nel caso di terreni argillosi sovraconsolidati, mentre per terreni incoerenti o argillosi normalconsolidati va assunto a variazione lineare a partire dal valore nullo in corrispondenza della testa del palo.
Per il calcolo dei coefficienti di rigidezza del singolo palo vengono fatte le seguenti posizioni:
Gs = 0.5 Es / (1+ µ) modulo di taglio del terreno
Ep modulo elastico secante del palo
R, L raggio e lunghezza del palo
G* modulo del terreno alla profondità L (alla punta)
r = 1 / 0,5 eterogeneità = 1 per Gs=cost./ eterogeneità = 0,5 per Gs variabile.
De = L [0,25 + (2,5 r (1- µ) – 0,25] distanza di estinzione
Ps = ln (De/R)
Ak = L tgh(mL) /(R mL)
mL = L / R ( 2 G* / (Ps·Ep))0.5
Lc = R / 2 ( Ep / G*)0.5 lunghezza caratteristica (tgh è la funzione tangente iperbolica)
Nel caso in cui risulti L < Lc si rientra nell’ipotesi di palo rigido assialmente e la rigidezza Kv , cioè la forza verticale che si sviluppa per uno spostamento verticale unitario, viene valutata con la seguente espressione:
Kv = 4 R G* (1-µ) + p L G*/4
Nel caso, invece, di palo deformabile (L > Lc) la stessa rigidezza viene così valutata (Randolph e Wroth 1978):
Kv = R·G*·Bk / Ck
in cui:
Bk = 4 / (1- µ) + 2 p r·Ak / Ps
Ck = 1 + 4 Ak·G*/ [p Ep (1-µ)]
Il problema del calcolo della rigidezza del palo per effetto di una forza orizzontale (o di una coppia) applicata sulla testa di un palo immerso in mezzo elastico avente modulo variabile linearmente con la profondità è stato brillantemente risolto da Randolph [8]. Le seguenti espressioni infatti consentono di correlare direttamente lo spostamento u e la rotazione t della testa di un palo prodotte dalla forza H orizzontale e dalla coppia M senza passare per la soluzione delle equazioni integrali:
nelle quali:
Lc = lunghezza critica per forza orizzontale
Gc = modulo di taglio alla profondità Lc/2
R = raggio sezione palo
r = G(z=L/4) / Gc = grado di eterogeneità
Il coefficiente r (grado di eterogeneità) vale 1 nel caso di modulo elastico del terreno costante, vale 0,5 nel caso di modulo del terreno linearmente variabile a partire dal valore nullo.
Nel caso di modulo Gs variabile il valore Gc da utilizzare per il calcolo di Lc è a priori incognito e va determinato per successive approssimazioni (insieme ad Lc) ricalcolando Lc più volte.
Affinché il comportamento del palo sia schematizzabile con le precedenti espressioni è necessario che la sua lunghezza L sia maggiore della sua lunghezza critica Lc (palo flessibile).
Le precedenti relazioni consentono di calcolare i coefficienti necessari a completare la matrice di rigidezza del palo, riportata in [6] nel caso di pali giacenti in un unico piano verticale.
Sforzi nei pali
Nel caso in cui si sia operato col modello alla Winkler (lineare o non lineare) la conoscenza degli spostamenti del nodo di testa dei singoli pali consente di determinare gli sforzi, le reazioni del terreno e gli spostamenti presenti lungo tutto il fusto dei singoli pali. Ai momenti così determinati il programma somma in automatico i momenti cinematici eventualmente assegnati in input. Il momento flettente di dimensionamento delle armature del palo viene assunto pari a quello avente il massimo modulo tra tutti quelli calcolati lungo il fusto del palo. Come sforzo normale associato a detto momento massimo viene sempre considerato quello calcolato in corrispondenza della testa del palo anche se non corrispondente alla sezione di momento massimo; ciò in quanto lo sforzo normale varia di poco nel tratto superiore del palo in cui si trova la sezione di momento massimo.
Nel caso invece del modello di terreno continuo elastico ed omogeneo il calcolo fornisce solo gli sforzi (H ed M di figura) e gli spostamenti del nodo di testa dei singoli pali. L'andamento dei diagrammi dei momenti flettenti prodotti separatamente da H ed M è del tipo rappresentato in figura. Il massimo momento flettente prodotto da H è fornito dalla espressione approssimata:
Mmax = 0,1 H Lc / r
tale valore massimo si ha in una sezione posta ad una distanza z* dalla testa pari a Lc/4 se Es è costante, pari a Lc/3 se Es è crescente linearmente con la profondità.
L'andamento del momento flettente lungo l'asse del palo andrebbe pertanto determinato per somma dei due diagrammi.
Poiché ai fini progettuali è importante stabilire solo il valore massimo del momento flettente il programma effettua il confronto tra i momento M che compete alla sezione di attacco del palo con quello M* relativo alla sezione in cui si sviluppa il momento massimo prodotto da H:
M* = 0,1 H Lc / r + c M
in cui c M è il valore del momento flettente dovuto ad M in corrispondenza della sezione in cui è massimo il momento prodotto da H; a tal fine l’andamento di questo ultimo diagramma dei momenti è schematizzato per semplicità come lineare a partire dal valore massimo pari a M fino al valore nullo alla profondità di Lc (vedi figura 4.1). In pratica il coefficiente di riduzione c vale 0,75 per r = 1 e 0,66 per r = 0,5. Si noti che la somma dei momenti flettenti da cui si ottiene M* è algebrica in quanto il segno dei momenti dipende dai versi di H ed M (tali momenti risultano quasi sempre di segno discorde).
Ai fini del calcolo delle armature e della relativa verifica il programma assume il momento flettente maggiore (in modulo) tra M ed M*.
Momenti cinematici
Questi momenti sono prodotti dalla deformazione del terreno in cui sono immersi i pali a seguito del passaggio delle onde sismiche. Le NTC al § 7.11.5.3.2 ne impone la valutazione per costruzioni di classe d'uso III o IV, per terreni di tipo D o peggiori in siti a sismicità media o alta (ag>0.25 g), e, nel caso in cui due strati adiacenti del terreno che circonda i pali presenti un forte contrasto delle rigidezze Gs (rapporto tra i due valori di Gs > 5).
Un calcolo rigoroso di questi momenti presenta notevoli difficoltà e risulta giustificato solo per opere di una certa importanza. Per opere correnti Gazetas (1997) propone una formula semplificata e conservativa con riferimento ad un terreno caratterizzato da due soli strati:
Mmax = 0,042 Ti d³ (L/d)0,3 (Ep/Es)0,65 (Va/Vb)-0,5
con
Ti = As Ro Ha = Tensione tangenziale all'interfaccia
Ro = densità strato superiore
As = accelerazione sismica di progetto alla superficie libera del terreno
Ha = spessore dello strato superiore
Va, Vb = velocità delle onde di taglio dello strato superiore ed inferiore
L, d = lunghezza e diametro del palo
Ep = modulo di Young del palo
Es = modulo elastico del terreno
Verifica sezioni circolari dei pali in c.a.
Viene effettuato il semiprogetto e la verifica della sezione circolare del palo maggiormente sollecitata a flessione come sopra determinata. Nel calcolo di verifica al momento massimo vengono sempre associati i valori dello sforzo normale del taglio e della torsione calcolati nella sezione di attacco del palo.
Nel caso in cui la struttura ricade in zona sismica il punto 7.2.5 delle NTC richiede che i pali restino in campo elastico (come per tutti gli altri tipi di fondazioni) ed abbiano un'area di armatura longitudinale minima pari allo 0.3% di quella del calcestruzzo.
Nel caso di presenza dei momenti cinematici l'armatura massima del palo deve essere estesa a tutta la sua lunghezza.
Il programma progetta e verifica l'armatura necessaria ad assorbire gli sforzi derivanti dalle combinazioni di carico amplificate col fattore di sovraresistenza gRd e dai momenti cinematici eventualmente assegnati.
Può accadere che uno o più pali non siano verificati nei confronti del carico limite per forza orizzontale pur essendo l'armatura ed il conglomerato verificati nei confronti delle massime sollecitazioni calcolate. Se ciò avviene per insufficienza del momento ultimo (ipotesi di palo 'medio' o 'lungo' nella teoria di Broms) si può intervenire nell'archivio sezioni travi/pali (§ 2.2.17) assegnando al numero minimo di barre di armatura della sezione del palo un valore superiore a quello fornito dal calcolo: reiterando il calcolo con armature via via crescenti si può giungere a soddisfare la verifica o si può decidere di modificare il diametro o la disposizione in pianta dei pali.
Calcolo pali in gruppo
Per pali in gruppo la vigente normativa non sismica (§ 6.4.3 NTC) prescrive la determinazione del carico ultimo complessivo della palificata tenendo conto degli effetti di gruppo. Detto Qult assunto per il carico ultimo del palo singolo il carico ultimo di una palificata comprendente N pali uguali può essere determinato in generale dalla seguente formulazione:
QGult = N E Qult
dove E è detto il fattore di efficienza della palificata.
Per terreni incoerenti E risulta non minore dell'unità e, cautelativamente, potrà sempre porsi 1. Per terreni coesivi si aggira intorno a 0,6, 0,7 e nel caso di m file di pali con n pali per ogni fila si potrà adottare la seguente formula empirica di Converse Labarre (cfr. [1]):
E = 1 – [2 arctg(i/d)/p ] [(m-1)n +(n-1)m]/ (n m)
dove i è l'interasse tra i pali di diametro d.
Nel caso di piccoli gruppi di pali (caso dei plinti su pali) conviene utilizzare valori predefiniti in base al numero di pali presenti in ogni plinto (metodo di Feld). Valori di riferimento del coefficiente E sono 1.00 per il palo singolo, 0.94 per palo doppio, da 0.82 per 4 pali a 0.72 per 9 pali. Per terreni a grana grossa va sempre assunto E=1.00.
E' sempre consigliabile scegliere un interasse tra i pali superiore a 3 volte il diametro dei pali, oltre che per motivi economici, anche per ridurre gli effetti dell'interazione che si verifica nel comportamento dei pali.