1 MODELLAZIONE > 1.14 Modellazione sismica

Quanto segue si riferisce all'analisi dinamica (§ 7.3.3.1 NTC) eseguita dal programma mediante la determinazione dei modi di vibrare della struttura, il calcolo degli effetti (forze d'inerzia da applicare ai nodi) dell'azione sismica rappresentata dallo spettro di risposta di progetto, e la combinazione degli effetti tra loro.

La costruzione della matrice di massa, necessaria per il successivo calcolo dei modi di vibrazione, viene effettuata in maniera automatica dal programma (senza alcun intervento dell'utente) in quanto essa è finalizzata alla sola analisi sismica. Le masse generate sono sempre considerate come concentrate (approccio lumped) nei nodi (§ 1.1) di congruenza della struttura. La matrice delle masse si riduce pertanto al vettore corrispondente alla sua diagonale principale i cui singoli termini rappresentano il valore della massa nella direzione dei gradi di libertà attivi. Se, ad esempio, si considera un nodo della struttura non appartenente ad un piano rigido (nodo di piano deformabile o nodo fuori piano) ad ognuno dei suoi 6 gradi di libertà (nel sistema generale) sono associabili i seguenti 6 valori di massa m: [Mx, My, Mz, Jpx, Jpy, Jpz] che, nel caso della presente analisi quasi sempre si riducono a [M, M, 0, 0, 0, 0] cioè vengono considerate attive le masse agenti nelle sole direzioni orizzontali X, Y dell'azione sismica; vengono invece sempre trascurate le inerzie rotazionali mentre la massa in direzione verticale (Mz) può venire attivata da programma nei casi, poco frequenti, previsti in normativa (cfr. § 2.2.3). Nel caso di piano rigido l'intera massa traslazionale e rotazionale dei nodi appartenenti a tale piano viene concentrata nel nodo master di piano rigido posto nel loro baricentro: le 2 masse traslazionali Mx, My sono entrambe assunte pari alla somma di tutte le masse dei nodi di piano mentre l'inerzia rotazionale intorno all'asse verticale Jpz è assunta pari alla somma delle singole masse per la loro distanza al quadrato dal baricentro. Cioè solo per il nodo master di piano rigido viene messa in conto l'inerzia rotazionale intorno all'asse Z allo scopo di valutare gli effetti torsionali del piano rigido.

Per le tipologie oggetto del presente programma (edifici e strutture con massa in fondazione molto inferiore a quella della sovrastruttura) si considerano trascurabili gli effetti dinamici dell'interazione orizzontale con il terreno di fondazione e, pertanto, si assumono nulle tutte le masse dei nodi del piano di fondazione.

Il valore numerico attribuito alla massa traslazionale del generico nodo in elevazione viene preso (a meno dell'accelerazione g di gravità) uguale alla somma di tutte le componenti verticali (gravitazionali) delle reazioni di incastro perfetto degli elementi strutturali collegati al nodo stesso. Vengono cioè sommate le reazioni di tutte le condizioni di carico assegnate ciascuna moltiplicata per il competente fattore di combinazione (§ 2.2.14) assegnato per la combinazione sismica di progetto. Il peso proprio di un pilastro, ad esempio, è schematizzato come un carico verticale uniformemente distribuito lungo l'asse. Le due reazioni verticali, nei nodi superiore ed inferiore, sono pari alla metà della risultante del carico cioè la metà del peso del pilastro; la massa corrispondente è ottenuta dividendo il peso nodale per g e moltiplicando il risultato per il coefficiente di combinazione 1.00 fissato nel § 3.2.4 NTC per i pesi propri G1.

Una volta costruita la matrice di massa il programmma estrae gli autovalori e gli autovettori con il metodo di iterazione del sottospazio di Wilson e Bathe [4]. La normativa richiede che la massa partecipante totale non sia inferiore all'85% e che non vadano esclusi i modi con massa partecipante superiore al 5%. A questo scopo l'analisi modale, inizializzata per un certo numero di modi, viene ripetuta incrementando il numero di modi sino a quando la massa partecipante non supera il 95% (percentuale che soddisfa entrambe le condizioni). Il calcolo dei coefficienti di partecipazione necessari alle suddette valutazioni percentuali si sono seguite le indicazioni riportate in [11]. La combinazione degli effetti dei singoli modi viene effettuata con le formule (7.3.3) e (7.3.4) della combinazione quadratica completa (CQC) riportate nel § 7.3.3.1 delle NTC. I risultati dell'analisi modale sono esposti in dettaglio nelle stampe dei risultati.

Gli effetti sulla struttura (spostamenti, sollecitazioni, deformazioni, ecc.) sono da calcolarsi tenendo conto della loro contemporaneità secondo l'espressione fornita nel § 7.3.5 delle NTC: 1.00 Ex + 0.30 Ey + 0.30 Ez con rotazione dei coeff. moltiplicativi. Allo scopo di ricercare gli effetti più gravosi (ad esempio in termini di sforzi sulle aste) è però necessario considerare sia gli effetti della combinazione gravitazionale associata al moto sismico sia quelli dell'eccentricità accidentale del centro di massa rappresentabili secondo il punto 7.3.3.1 delle NTC come una ulteriore condizione di carico statico costituita da una coppia torcente per piano di intensità pari al prodotto della forza sismica del piano stesso (nella direzione sismica considerata) per un'eccentricità convenzionale pari al 5% della dimensione massima ortogonale a quella sismica considerata. Va quindi considerata una condizione di carico statico torcente sia per la direzione sismica X che per quella Y.

L'individuazione delle combinazioni più gravose viene effettuata dal programma sulla base delle seguenti 8 combinazioni simboliche escludendo per il momento la componente sismica verticale Ez:

E1 = EG + Ex + 0.30 Ey +|ETx| + 0.30 |ETy|

E2 = EG + Ex - 0.30 Ey +|ETx| + 0.30 |ETy|

E3 = EG - Ex + 0.30 Ey +|ETx| + 0.30 |ETy|

E4 = EG - Ex - 0.30 Ey +|ETx| + 0.30 |ETy|

E5 = EG + 0.30 Ex + Ey + 0.30 |ETx| + |ETy|

E6 = EG - 0.30 Ex + Ey + 0.30 |ETx| + |ETy|

E7 = EG + 0.30 Ex - Ey + 0.30 |ETx| + |ETy|

E8 = EG - 0.30 Ex - Ey + 0.30 |ETx| + |ETy|

in cui:

EG è l'effetto prodotto dalla combinazione gravitazionale (vedi § 2.2.14)

Ex è l'effetto prodotto dal moto sismico in direzione X.; anche se il suo valore è ottenuto con combinazione quadratica completa (CQC) e quindi è privo si segno, si è preferito attribuire il segno corrispondente a quello del primo modo di vibrare in direzione X per dare più senso fisico al suo valore;

Ey è l'effetto prodotto dal moto sismico in direzione Y.; vale quanto detto per Ex;

|ETx| è l'effetto (in valore assoluto) prodotto dalle coppie torcenti di piano che modellano l'eccentricità accidentale per sisma in direzione X

|ETy| è l'effetto (in valore assoluto) prodotto dalle coppie torcenti di piano che modellano l'eccentricità accidentale per sisma in direzione Y

Nel caso in cui sia attiva anche la componente sismica verticale nelle suddette 8 combinazioni viene aggiunto il termine 0.30 Ez e vengono inoltre considerate se seguenti 4 ulteriori combinazioni:

E9 = EG + Ez + (0.30 Ex + 0.30 Ey + 0.30|ETx| + 0.30 |ETy|)

E10 = EG + Ez - (0.30 Ex + 0.30 Ey + 0.30|ETx| + 0.30 |ETy|)

E11 = EG - Ez + (0.30 Ex + 0.30 Ey + 0.30|ETx| + 0.30 |ETy|)

E12 = EG - Ez - (0.30 Ex + 0.30 Ey + 0.30|ETx| + 0.30 |ETy|)

In generale i coefficienti di contemporaneità delle componenti sismiche, qui posti tutti pari a 0.30 in ossequio alla prescrizione normativa, fanno parte di una matrice 2x2 (3x3 se presente la componente in direzione Z) in cui la diagonale principale è pari ad 1.00. Detti coefficienti possono essere modificati dall'utente nella finestra dei Dati sismici (§ 2.2.3) per particolari valutazioni (ad esempio annullando tutti i coeff. misti si può misurare per differenza l'influenza della contemporaneità sulle sollecitazioni).

Alcuni autori in [15] modellano l'eccentricità accidentale, prima considerata come ulteriore condizione di carico statico, effettuando 4 diverse analisi modali per ognuna delle posizioni ottenute incrementando le coordinate del baricentro di calcolo prima di ± ex e successivamente di ± ey (ex ed ey sono le eccentricità accidentali di normativa). Così operando si aumenta il numero di combinazioni di carico da considerare ed inoltre il procedimento è valido solo nell'ipotesi di piano rigido in cui esiste un nodo master di piano al quale modificare le coordinate di ± ex o ± ey. Il programma, pertanto, non utilizza questa modellazione ma quella sempre valida che assorbe gli effetti dell'eccentricità accidentale mediante due ulteriori condizioni di carico statico. In questo caso, nell'ipotesi di piano deformabile, alle masse del piano vengono applicate forze orizzontali di intensità tale da fornire un momento risultante, rispetto al baricentro di piano, pari al momento torcente di normativa: posto T il valore del momento torcente e indicate con Xi, Yi le coordinate della generica massa di piano Mi, le componenti Fxi, Fyi delle forze da applicare alla massa, per il rispetto della condizione enunciata sono:

Fxi = - T⋅ Mi⋅ Yi / ( Σ Mi (Xi² + Yi²))

Fyi = T⋅ Mi⋅ Xi / ( Σ Mi (Xi² + Yi²))

Assegnando a T prima il valore conseguente all'eccentricità per sisma in direzione X e poi quello per sisma in direzione Y si ottengono i due sistemi di forze statiche che modellano l'effetto torsionale cercato.