Quando un materiale ha un comportamento non-lineare, le proprietà del materiale dell’elemento si assumo essere quelle determinate nei suoi punti di campionamento. Tipicamente questi punti sono stazioni di quadratura per la legge di integrazione numerica. In ciascuno di questi punti si determinano le tensioni che vengono poi aggiornate durante il ciclo di calcolo.
Al fine di ridurre l’onere computazionale, il numero di punti deve essere piuttosto piccolo, mentre per riuscire a valutare in maniera più accurata la variazione della resistenza negli elementi individuali, è indispensabile utilizzare un numero maggiore di punti di campionamento.
Fig. 41. Procedura di analisi non lineare.
L’implementazione delle relazioni costitutive elasto-plastiche, in un contesto ad elementi finiti, richiede la considerazione di due differenti livelli, il livello globale e il livello del materiale. A livello globale l’equilibrio deve essere soddisfatto così come in ogni altro calcolo lineare o non-lineare a elementi finiti, mentre a livello del materiale devono essere soddisfatte le relazioni di plasticità.
Eseguendo la discretizzazione degli elementi finiti, in definitiva, si ottiene l’Equazione 159:
dove F rappresenta il vettore dei carichi applicati, U rappresenta il vettore spostamento e K la matrice delle rigidezze.
Poiché la relazione tensione-deformazione è non-lineare, la matrice costitutiva dipende dallo stato attuale delle tensioni della matrice delle rigidezze (non-lineare). Si possono pertanto adottare due tipologie di soluzioni per modellare la non-linearità del materiale. Con entrambi i metodi di risoluzione, il carico viene incrementato in diversi step e la soluzione si ottiene attraverso una serie di linearizzazioni.