El moto permanente gradualmente variado es aquel que se verifica en una corriente de nivel libre con variaciones graduales de la sección. Naturalmente la condición de continuidad impone que el caudal quede constante, mientras que la velocidad y la sección varían gradualmente a lo largo de los ejes s de la corriente.
Si se considera una corriente en moto permanente con pequeña pendencia y caudal Q constante. Aislando un tronco del cauce de longitud ds (con s abscisa medida a partir de un origen arbitrario, en dirección horizontal hasta coincidir con aquel del moto) El fondo disminuye de if ds y la línea de cargas totales de Jds, habiendo indicado con J la cadente.
De simples consideraciones geométricas se tiene:
La expresión b), en la cual por sencillez if ha sido igualado a i, indica claramente que la energía específica total con respecto al fondo, aumenta para la disminución del fondo mismo y disminuye por efecto de las resistencias.
Sustituyendo a los diferenciales los elementos finitos, la b) se vuelve:
Ya que E resulta función de s a través de la altura h, se tiene:
Del curso de E en función de h, sabemos que E decreciente a creciente de h (dE/dh < 0) para las corrientes veloces (h < k), y es creciente (dE/dh > 0) para las corrientes lentas (h > k); en correspondencia del estado crítico dE/dh = 0.
En fin, aceptando para la pérdida de carga J la siguiente expresión:
se deduce que J es tan menor como mayor es h, dado que todos los terminaciones del denominador crecen con h, y se puede concluir que el numerador de c) resulta positivo (i > J) por alturas de agua superiores a aquellas de moto uniforme (h > h0), negativo por alturas de agua inferior a aquel de moto uniforme (h < h0).
Las consideraciones efectuadas son la base del recorrido probable a seguir de los perfiles de agua: observamos en general que cuando la altura del agua se acerca a aquella de moto uniforme, la dh/ds tiende a ser cero, es decir que el perfil se dirige paralelo al fondo y por lo tanto a aquel de moto uniforme.
Al contrario, cuando la altura se acerca al valor crítico k, la dE/dh ha la trendencia a anularse y por lo tanto el perfil se dirige perpendicularmente al fondo.
Los perfiles de moto permanente son descriptos analíticamente de la expresión b), por lo tanto definidos amenos de una constante arbitraria a determinar fijando en una sección la altura h = h*.
Tal condición se encuentra en correspondencia de una causa perturbadora que provoca, en una sección, un altura h distinta a aquella de moto uniforme; recordamos que a tal propósito la causa perturbadora puede ejercitar su influencia cuesta arriba solo si la corriente es lenta (o lo será), puede ejercitarse cuesta abajo solo si la corriente es veloz (o lo será por este motivo).
Todo esto lleva a establecer que las condiciones al contorno para revolver la ecuación del perfil, y por lo tanto el punto de partida del trazado, se encuentra cuesta abajo si la corriente es lenta, cuesta arriba si la corriente es veloz.
En tal sección tendrá la altura h* determinada por la causa perturbadora y por lo tanto será notorio el desnivel h*- h0 con respecto al moto uniforme.
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